Задача 115690

Темы:    [ Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон ] [ Четырехугольник (неравенства) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Какую максимальную площадь может иметь четырёхугольник, длины сторон которого равны 1, 4, 7, 8?

Решение

Рассмотрим четырёхугольник, две соседние стороны которого равны 1 и 8. Тогда две другие соседние стороны равны 4 и 7. Если стороны, равные 1 и 8 противоположны, то проведём диагональ и отбразим относительно её серединного перпендикуляра один из полученых треугольников. Тогда стороны, равные 1 и 8 будут соседними, а площадь четырёхугольника не изменится.
Пусть S — площадь данного четырёхугольника, α — угол между соседними сторонами, равными 1 и 8, а β — угол между соседними сторонами, равными 4 и 7. Тогда

S = · 1· 8 sin α + · 4· 7 sin β · 1· 8+· 4· 7 =4+14 = 18.

Докжем теперь, что при данных условиях существует четырёхугольник, площадь которого равна 18. Действительно, поскольку 12+82=42+72 , условию задачи удовлетворяет четырёхугольник, составленный из двух прямоугольных треугольников с катетами 1, 8 и 4, 7 и общей гипотенузой, равной .

Ответ

18.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2581