Задача 115692

Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Вписанные четырехугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Две окружности с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B. Окружность, проходящая через точки O₁, B и O₂ пересекает вторую окружность также и в точке P. Докажите, что точки O₁, A и P лежат на одной прямой.

Решение

  Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть прямая O₁A вторично пересекает окружность с центром O₂ в точке P'. Тогда
∠AP'O₂ = ∠O₂AP' = 180° – O₁AO₂ = 180° – O₁BO₂,  значит, четырёхугольник O₁P'O₂B – вписанный, то есть точка P' лежит на окружности, проходящей через точки O₁, B и O₂. Отсюда следует утверждение задачи.

  Аналогично разбираются другие случаи расположения окружностей.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2583