ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115692
Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Вписанные четырехугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B. Окружность, проходящая через точки O1, B и O2 пересекает вторую окружность также и в точке P. Докажите, что точки O1, A и P лежат на одной прямой.


Решение

  Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть прямая O1A вторично пересекает окружность с центром O2 в точке P'. Тогда
AP'O2 = ∠O2AP' = 180° – O1AO2 = 180° – O1BO2,  значит, четырёхугольник O1P'O2B – вписанный, то есть точка P' лежит на окружности, проходящей через точки O1, B и O2. Отсюда следует утверждение задачи.

  Аналогично разбираются другие случаи расположения окружностей.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2583

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .