Задача 115693

Темы:    [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны соответственно точки X и Y так, что  ∠AXY = 2∠C,  ∠CYX = 2∠A.
Докажите неравенство  

Решение

  Пусть биссектрисы углов AXY и CYX пересекают прямую AC в точках F и L соответственно и пересекаются в точке D.
  Заметим, что треугольники AFX, YLC и YXD покрывают четырёхугольник AXYC, а так как  ∠AXF = ½ ∠AXY = ∠C,  ∠CYL = ½ ∠CYX = ∠A,  то каждый из этих треугольников подобен треугольнику ABC по двум углам, причём коэффициенты подобия равны  ^AX/_AC, ^YC/_AC и ^XY/_AC соответственно. Значит,  

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2584