Задача 115694

Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Биссектриса делит дугу пополам ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M . Пусть P и Q — центры окружностей, описанных вокруг треугольников ABM и CDM . Докажите, что AB+CD < 4PQ

Решение

Пусть P и Q — центры описанных окружностей треугольников ABM и CDM сооответственно, а биссектриса вертикальных углов AMB персекает эти окружности в точках соответственно K и E . Тогда AK=BK , а т.к. четырёхугольник AKBM вписанный, то сумма его углов при вершинах A и B равна 180^o , поэтому один из этих углов, например, MAK , не меньше 90^o . Тогда в треугольнике MAK против этого угла лежит большая сторона KM , значит, KM > AK = BK . Аналогично, EM > EC=ED , поэтому 2KM > 2AK = AK+BK>AB и 2EM>2EC=EC+ED>CD , значит, 2KE=2(KM+EM) > AB+CD , или KE>(AB+CD) , а т.к. проекция отрезка PQ на KE равна половине KE , то

PQ KE > · (AB+CD)= (AB+CD).
Отсюда следует требуемое неравенство.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2585