Версия для печати
Убрать все задачи

---

Вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром $I$ касается его сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Вневписанная окружность с центром $J$ касается стороны $AC$ в точке $B_2$ и продолжений сторон $AB$ и $BC$ в точках $C_2$ и $A_2$ соответственно. Пусть прямые $IB_2$ и $JB_1$ пересекаются в точке $X$, прямые $IC_2$ и $JC_1$ – в точке $Y$, прямые $IA_2$ и $JA_1$ – в точке $Z$. Докажите, что если одна из точек $X$, $Y$, $Z$ лежит на вписанной окружности, то и две другие тоже.

   Решение

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Медиана и высота прямоугольного треугольника, проведённые из вершины прямого угла, равны 5 и 4. Найдите катеты.

Решение

  Пусть  CM = 5  и  CH = 4  – медиана и высота прямоугольного треугольника ABC, проведённые из вершины прямого угла. По теореме Пифагора
MH = 3.

  Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, поэтому  BM = 5.  Предположим, что
AC > BC.  Тогда точка H лежит между точками B и M, поэтому  BH = BM – MH = 2,  AH = AM + MH = 8.
  Следовательно,  BC² = BH·AB = 20,  AC² = AH·AB = 80.

Ответ

Замечания

Можно также воспользоваться формулой, полученной в задаче 53676.

Источники и прецеденты использования