Задача 115717

Темы:    [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки D и F соответственно, E — середина отрезка DF . Докажите, что AD+FC AE+EC .

Решение

Пусть D' — точка, симметричная точке D относительно точки A , а F' — симметрична точке F относительно точки C . Тогда DD'=2AD , FF'=2FC , а т.к. AE и CE — средние линии треугольников FDD' и DFF' , то FD'=2AE и DF'=2EC .
Известно, что сумма диагналей выпуклого четырёхугольника больше суммы двух противоположных сторон, поэтому FD'+DF'>DD'+FF' , или 2AE+2EC > 2AD+2FC . Следовательно, AD+FC < AE+EC . (Если точка D совпадает с A , а F совпадает с C , то AD+FC = AE+EC .)

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2273