ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115717
Темы:    [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки D и F соответственно, E — середина отрезка DF . Докажите, что AD+FC AE+EC .

Решение

Пусть D' — точка, симметричная точке D относительно точки A , а F' — симметрична точке F относительно точки C . Тогда DD'=2AD , FF'=2FC , а т.к. AE и CE — средние линии треугольников FDD' и DFF' , то FD'=2AE и DF'=2EC .
Известно, что сумма диагналей выпуклого четырёхугольника больше суммы двух противоположных сторон, поэтому FD'+DF'>DD'+FF' , или 2AE+2EC > 2AD+2FC . Следовательно, AD+FC < AE+EC . (Если точка D совпадает с A , а F совпадает с C , то AD+FC = AE+EC .)

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2273

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .