Задача 115719

Тема:    [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В трапеции одна из диагоналей равна сумме оснований, а угол между диагоналями равен 60^o . Докажите, что трапеция — равнобедренная.

Решение

Пусть диагоналями AC и BD трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O , AOD =60^o и BD = AD+BC .
Через вершину C проведём прямую, параллельную BD . Пусть эта прямая пересекается с прямой AD в точке E . Тогда BCED — параллелограмм, поэтому

CE=BD=AD+BC=AE,
а т.к. ACE= AOD = 60^o , то треугольник ACE — равносторонний, поэтому BD=CE=AC , т.е. диагонали трапеции ABCD равны. Следовательно, трапеция — равнобедренная.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2275