Задача 115723

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Гомотетичные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На окружности, касающейся сторон угла с вершиной O , выбраны две диаметрально противоположные точки A и B (отличные от точек касания). Касательная к окружности в точке B пересекает стороны угла в точках C и D , а прямую OA — в точке E . Докажите, что BC=DE .

Решение

Предположим, что указанная окружность вписана в треугольник OCD и касается со стороной OC в точке M (рис.1).
Рассмотрим гомотетию с центром O , при которой вписанная окружность треугольника OCD переходит во вневписанную окружность этого треугольника. При этой гомотетии касательная в точке A к первой окружности переходит в параллельную ей касательную ко второй, т.е. в прямую CD , а точка A — в точку касания прямой CD со вневписанной окружостью треугольника OCD , т.е. в точку E .
Пусть при этой гомотетии точка M переходит в точку M' . Обозначим через p полупериметр треугольника OCD . Тогда

CE=CM'=OM'-OC=p-OC=BD.
Следовательно, BC=DE . Что и требовалось доказать.
Аналогично для случая, когда указанная окружность — это вневписанная окружность треугольника OCD (рис.2).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2554