|
|
 |
Условие
На окружности, касающейся сторон угла с вершиной O ,
выбраны две диаметрально противоположные точки A
и B (отличные от точек касания). Касательная к
окружности в точке B пересекает стороны угла в
точках C и D , а прямую OA — в точке E .
Докажите, что BC=DE .
Решение
Предположим, что указанная окружность вписана в треугольник
OCD и касается со стороной OC в точке M (рис.1).
Рассмотрим гомотетию с центром O , при которой вписанная окружность
треугольника OCD переходит во вневписанную окружность этого
треугольника. При этой гомотетии касательная в точке A к первой
окружности переходит в параллельную ей касательную ко второй, т.е.
в прямую CD , а точка A — в точку касания прямой CD со
вневписанной окружостью треугольника OCD , т.е. в точку E .
Пусть при этой гомотетии точка M переходит в точку M' .
Обозначим через p полупериметр треугольника
OCD . Тогда
Следовательно, BC=DE . Что и требовалось доказать.
Аналогично для случая, когда указанная окружность — это вневписанная окружность треугольника OCD (рис.2).
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2554 |
