Задача 115725

Темы:    [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Две точки, выбранные на противоположных сторонах прямоугольника, соединены отрезками с вершинами прямоугольника.
Докажите, что площади семи частей, на которые разбился при этом прямоугольник, не могут оказаться все одинаковы.

Решение

Пусть точки M и N расположены на сторонах соответственно AB и CD прямоугольника ABC , отрезки MC и BN пересекаются в точке K , а отрезки AN и DM — в точке L .
Треугольники AMD и AMN равновелики, т.к. у них есть общая сторона AM и общая высота, опущенная на сторону AM , а т.к. треугольник AML — общая часть этих треугольников, то равновелики и треугольники ALD и MLN . Треугольник MLN — часть четырёхугольника MKNL , поэтому

S_{Δ ALD}=S_{Δ MLN} <S_MKNL.
Отсюда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2556