Задача 115727

Тема:    [ Неопределено ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC угол при вершине B вдвое больше угла при вершине C . Окружность с центром в точке A и радиусом AB пересекает серединный перпендикуляр к отрезку BC в точке P (внутри треугольника). Докажите, что угол PAC в три раза меньше угла BAC .

Решение

Обозначим ACB=α . Тогда ABC = 2α . От луча CA в полуплоскости, не содержащей точку B , отложим луч, под углом α к CA . Пусть этот луч пересекает серединный перпендикуляр к стороне BC в точке D . Тогда треугольник BCD — равнобедренный, поэтому CBD = BCD = 2α = ABC , значит, точка A лежит на стороне BD .
Пусть BE — биссектриса треугольника BCD . Треугольник BAE — равнобедренный, т.к. AE || BC и AEB = CBE = ABE=α , поэтому AE=AB . Значит, точка E лежит на окружности с центром A и радиусом AB .
Треугольник BDC симметричен относительно прямой DP , поэтому

PAC= PEB = PAB
(вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла). Следовательно, PAC = BAC .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2597