Задача 115732

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Средняя линия треугольника ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Гомотетичные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Протасов В.Ю.

Дана окружность и точка К внутри неё. Произвольная окружность, равная данной и проходящая через точку К, имеет с данной окружностью общую хорду. Найдите геометрическое место середин этих хорд.

Решение

  Пусть R – радиус данной окружности, PQ – общая хорда, M – её середина, а O₁ – центр выбранной произвольно окружности. OPO₁Q – ромб, поэтому M будет также серединой OO₁. Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. Средняя линия MM₁ треугольника ОKO₁ равна половине KO₁, то есть ^R/₂. Таким образом, все середины хорд лежат на окружности с центром в середине OK и радиусом ^R/₂ (рис. слева).
  Несложно также проверить, что любая точка этой окружности является серединой некоторой хорды.

  Второй способ. Центры окружностей, равных данной и проходящих через точку K, лежат на окружности с центром в точке K радиуса R (рис. справа). Поэтому искомое ГМТ есть образ окружности, образованной центрами, при гомотетии с центром в точке O и коэффициентом ½.

Ответ

Окружность с центром в середине OK (O – центр исходной окружности) и радиусом, равным половине радиуса данной окружности).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2005
тур
задача
Номер	3