ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115770
Темы:    [ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Выпуклый многоугольник описан около окружности. Точки касания его сторон с окружностью образуют многоугольник с таким же набором углов (порядок углов может быть другим). Верно ли, что многоугольник правильный?


Решение

Пусть A1A2... An – данный многоугольник, B1, B2, ..., Bn – точки касания вписанной окружности со сторонами A1A2, A2A3, ..., AnA1. Обозначим значения углов первого многоугольника через a1, ..., an, а второго – через b1, ..., bn. Тогда  bi = ½ (ai + ai+1).  Перемножая n таких равенств, получаем
2na1a2... an = (a1 + a2)...(an–1 + an)(an + a1).  Но по неравенству Коши     Поэтому из полученного равенства следует, что все углы многоугольников равны, а так как многоугольник B1...Bn – вписанный, то многоугольники правильные.


Ответ

Верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2007
тур
задача
Номер 7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .