Задача 115771

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Три окружности проходят через точку P, а вторые точки их пересечения A, B, C лежат на одной прямой. A₁, B₁, C₁ – вторые точки пересечения прямых AP, BP, CP с соответствующими окружностями. C₂ – точка пересечения прямых AB₁ и BA₁.  A₂, B₂ определяются аналогично.
Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ равны.

Решение

Так как четырёхугольники PAB₁C и PBAC₁ вписанные,  ∠CAC₂ = ∠CAB₁ = ∠CPB₁ = ∠BAC₁  (см. рис.). Аналогично  ∠ABC₂ = ∠ABC₁,  то есть точки C₁, C₂ симметричны относительно прямой AB. Повторив это рассуждение для двух других пар точек, получим, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ симметричны относительно этой прямой и, следовательно, равны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2007
тур
задача
Номер	7