Задача 115777

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Теорема синусов ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC  P и Q – середины диагоналей AC и BD соответственно.
Докажите, что если ∠DAQ = ∠CAB, то ∠PBA = ∠DBC.

Решение 1

Пусть K – точка пересечения диагоналей трапеции. Применяя теорему синусов к треугольникам AQD, AQB, ALD, ALB, получим, что     Следовательно,     и     что, как показано выше, равносильно утверждению задачи.

Решение 2

Пусть L и M – середины соответственно AB и AD. Тогда, так как  PL || AD,  QM || AB,  то  ∠AQM = ∠QAB = ∠CAD = ∠APL,  и значит, треугольники APL и AMQ подобны (см. рис.). Следовательно,  AP : AQ = AL : AM = AB : AD.  Поэтому треугольники ABP и ADQ подобны, то есть  ∠ABP = ∠ ADQ = ∠CBD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2007
тур
задача
Номер	14