Задача 115783

Темы:    [ Частные случаи тетраэдров (прочее) ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Шноль Д.Э.

Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной 1. Из трёх углов при вершине пирамиды два – прямые.
Найдите наибольший объём пирамиды.

Решение

Пусть ABC – основание пирамиды, стороны AC, BC видны из её вершины S под прямыми углами. Тогда S лежит на линии пересечения сфер с диаметрами AC и BC, то есть на окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной основанию, с диаметром CD, где D – середина AB. Максимум объёма достигается, когда S – наиболее удаленная от плоскости ABC точка этой окружности. При этом высота пирамиды равна ½ CD, а её объём равен ¹/₁₆.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2007
тур
задача
Номер	20