ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115784
Темы:    [ Цилиндр ]
[ Поверхность круглых тел ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости лежат три трубы (круговые цилиндры одного размера в обхвате 4 м). Две из них лежат параллельно и, касаясь друг друга по общей образующей, образуют над плоскостью тоннель. Третья, перпендикулярная к первым двум, вырезает в тоннеле камеру. Найдите площадь границы этой камеры.


Решение 1

Горизонтальные сечения камеры являются прямоугольниками с периметрами, равными удвоенному диаметру трубы. Для каждого такого прямоугольника угол между его плоскостью и касательной к поверхности камеры один и тот же во всех точках. Середины сторон этих прямоугольников при перемещении сечения описывают четверти окружности трубы. Поэтому площадь поверхности камеры равна площади поверхности тетраэдра, грани которого – равные равнобедренные треугольники с основанием, равным диаметру трубы, и высотой, равной четверти её окружности.


Решение 2

Будем называть касающиеся друг друга цилиндры продольными, а перпендикулярный им – поперечным. Очевидно, что плоскость, касающаяся продольных цилиндров по общей образующей, и вертикальная плоскость, проходящая через ось поперечного цилиндра, являются плоскостями симметрии камеры и разрезают её на четыре равные части. Рассмотрим одну из таких четвертей. Её граница состоит из двух кусков: части поверхности продольного цилиндра, лежащей внутри половины поперечного, и части поверхности поперечного цилиндра, лежащей между продольным и касательной к нему вертикальной плоскостью. Линия пересечения цилиндров является эллипсом и лежит в вертикальной плоскости, при симметрии относительно которой цилиндры переходят друг в друга. Образ при этой симметрии части поверхности камеры, лежащей на продольном цилиндре, дополняет часть, лежащую на поперечном, до криволинейного прямоугольника со сторонами, равными половине диаметра и четверти окружности цилиндра. Соответственно, площадь поверхности камеры равна учетверённой площади такого прямоугольника.


Ответ

8/π м².

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2007
тур
задача
Номер 21

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .