Задача 115865

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Прокопенко Д.

Точки B₁ и B₂ лежат на луче AM, а точки C₁ и C₂ на луче AK. Окружность с центром O вписана в треугольники AB₁C₁ и AB₂C₂.
Докажите, что углы B₁OB₂ и C₁OC₂ равны.

Решение

Пусть отрезки B₁C₁ и B₂C₂ пересекаются в точке D (см. рис.). Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
∠B₁OB₂ = ∠AB₁O – AB₂O = ½ (∠AB₁C₁ – ∠AB₂C₂) = ½ ∠B₁DB₂.  Аналогично  ∠C₁OC₂ = ½ ∠C₁DC₂ = ½ ∠B₁DB₂.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Тур
задача
Номер	1