Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115857  (#10.1)

Темы:   [ Формулы для площади треугольника ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Пусть a, b, c – длины сторон произвольного треугольника; p – полупериметр; r – радиус вписанной окружности. Докажите неравенство

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115858  (#10.2)

Темы:   [ Замечательное свойство трапеции ] [ Центр масс ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Дан четырёхугольник ABCD. Его противоположные стороны AB и CD пересекаются в точке K. Его диагонали пересекаются в точке L. Известно, что прямая KL проходит через центр тяжести вершин четырёхугольника ABCD. Докажите, что ABCD – трапеция.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115859  (#10.3)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Формула Эйлера ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC равны R и r; O, I – центры этих окружностей. Внешняя биссектриса угла C пересекает прямую AB в точке P. Точка Q – проекция точки P на прямую OI. Найдите расстояние OQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115860  (#10.4)

Темы:   [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

Через вершины треугольника ABC проводятся три произвольные параллельные прямые d_a, d_b, d_c. Прямые, симметричные d_a, d_b, d_c относительно BC, CA, AB соответственно, образуют треугольник XYZ. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей таких треугольников.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115861  (#10.5)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

В треугольник ABC вписан ромб CKLN так, что точка L лежит на стороне AB, точка N – на стороне AC, точка K – на стороне BC. Пусть O₁, O₂ и O – центры описанных окружностей треугольников ACL, BCL и ABC соответственно. Пусть P – точка пересечения описанных окружностей треугольников ANL и BKL, отличная от L. Докажите, что точки O₁, O₂, O и P лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями