Задача 115861

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Прокопенко Д.

В треугольник ABC вписан ромб CKLN так, что точка L лежит на стороне AB, точка N – на стороне AC, точка K – на стороне BC. Пусть O₁, O₂ и O – центры описанных окружностей треугольников ACL, BCL и ABC соответственно. Пусть P – точка пересечения описанных окружностей треугольников ANL и BKL, отличная от L. Докажите, что точки O₁, O₂, O и P лежат на одной окружности.

Решение

Очевидно, что CL – биссектриса, а прямые LN, LK параллельны сторонам BC, AC. Поэтому  ∠AO₁L = 2∠ACL = ∠C = ∠ANL,  то есть точка O₁ лежит на описанной окружности треугольника ANL и является серединой дуги ANL этой окружности. Следовательно,  O₁PL = π – ∠O₁AL = ½ (π + ∠C).  Аналогично  ∠O₂PL = ½ (π + ∠C).  Значит,  ∠O₁PO₂ = π – C.  Но угол O₁OO₂ также равен  π – ∠C,  потому что прямые OO₁, OO₂ являются серединными перпендикулярами к AC и BC (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Класс
Класс	10
задача
Номер	10.5