Задача 115866

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Ивлев Б.М.

Пусть ABC – остроугольный треугольник, CC₁ – его биссектриса, O – центр описанной окружности. Точка пересечения прямой OC₁ с перпендикуляром, опущенным из вершины C на сторону AB, лежит на описанной окружности Ω треугольника AOB. Найдите угол C.

Решение

Пусть D – точка пересечения OC₁ с указанным перпендикуляром (см. рис.). Так как D лежит на Ω и  AO = OB,  то  ∠ADC₁ = ∠BDC₁.  Значит,
AD : BD = AC₁ : BC₁ = AC : BC.  С другой стороны, так как   CD ⊥ AB,  то  AC² + BD² = AD² + BC².  Из этих равенств следует, что  AC = AD,  то есть точка D симметрична C относительно AB. Значит, прямая CC₁ пересекает серединный перпендикуляр к AB в точке, симметричной O. Поскольку точка пересечения биссектрисы и серединного перпендикуляра лежит на описанной окружности, получаем, что хорда AB делит перпендикулярный ей радиус пополам. Следовательно, опирающийся на эту дугу угол C равен 60°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Тур
задача
Номер	10