Задача 115883

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Прокопенко Д.

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Из точки Q пустили в каждую из окружностей по одному лучу, которые отражаются от окружностей по закону "угол падения равен углу отражения". Точки касания траектории первого луча – A₁, A₂, ..., второго – B₁, B₂, ... . Оказалось, что точки A₁, B₁ и P лежат на одной прямой. Докажите, что тогда все прямые A_iB_i проходят через точку P.

Решение

При отражении лучей от окружностей выполняются условия  QA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = ...  и QB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = ... . Значит,
∠(PQ, PA₁) = ∠(PA₁, PA₂) = ∠(PA₂, PA₃) = ...  и  ∠(PQ, PB₁) = ∠(PB₁, PB₂) = ∠(PB₂, PB₃) = ...  (углы ориентированные). Кроме того, так как точки A₁, B₁, P лежат на одной прямой, то  ∠(PQ, PA₁) = ∠(PQ, PB₁).  Следовательно, при любом i имеем  ∠(PA_i–1, PA_i) = ∠(PB_i–1, PB_i),  откуда по индукции получаем, что точки A_i, B_i, P лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Тур
задача
Номер	4