Задача 115889

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Блинков А.Д.

В трапеции ABCD боковая сторона AB равна меньшему основанию BC, а диагональ AC равна основанию AD. Прямая, проходящая через вершину B параллельно AC, пересекает прямую DC в точке M. Докажите, что AM – биссектриса угла BAC.

Решение 1

Из условия следует, что  ∠BMC = ∠ACD = ∠CDA = ∠BCM.  Значит,  BM = BC = AB,  и  ∠BAM = ∠BMA = ∠MAC  (см. рис.).

Решение 2

На продолжении стороны AB (за точку B) отметим точку P, а на продолжении диагонали AC (за точку C) – точку K. Тогда
∠MCK = ∠ACD = ∠ADC = ∠BCM,  то есть CM – биссектриса угла BCK. Так как AC – биссектриса угла BAD и  BM || AC,  то BM – биссектриса угла PBC. Таким образом, M – точка пересечения биссектрис двух внещних углов треугольника ABC, следовательно, AM – биссектриса угла BAC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Класс
Класс	8
задача
Номер	8.1