ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115890
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Неопределено ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через точку внутри вписанного четырёхугольника провели две прямые, делящие его на четыре части. Три из этих частей – вписанные четырёхугольники, причем радиусы описанных вокруг них окружностей равны. Докажите, что четвёртая часть – четырёхугольник, вписанный в окружность того же радиуса.


Решение

Пусть части, прилегающие к вершинам A, B, C вписанного четырёхугольника ABCD, – вписанные четырёхугольники. Так как углы A и C четырёхугольника противолежат равным углам в точке разреза L, то они равны, а значит, прямые. Поэтому прямые, разрезающие четырёхугольник, перпендикулярны. Но тогда угол B тоже прямой, то есть ABCD – прямоугольник, а четвёртая часть тоже является вписанным четырёхугольником. Кроме того, углы, опирающиеся на хорды AL, BL, CL, равны, а так как радиусы этих окружностей тоже равны, то равны и сами хорды. Следовательно, L – центр прямоугольника, и четвёртая окружность имеет тот же радиус.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2009
Класс
Класс 8
задача
Номер 8.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .