|
|
 |
Условие
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Обозначим через Ra, Rb, Rc и Rd радиусы описанных окружностей треугольников DAB, ABC, BCD, CDA. Докажите, что неравенство Ra < Rb < Rc < Rd выполняется тогда и только тогда, когда 180° – ∠CDB < ∠CAB < ∠CDB.
Решение
Пусть углы четырёхугольника удовлетворяют указанному неравенству. Тогда sin∠CAB > sin∠CDB, и значит, Rb < Rc. Поскольку угол CDB тупой, отсюда следует, что точка A лежит вне описанной окружности треугольника CDB, то есть ∠CAD < ∠CBD. Так как оба эти угла острые, то sin∠CAD < sin∠CBD и, значит, Rc < Rd. Кроме того, поскольку ∠ACB + ∠CBD = ∠CAD + ∠ADB < 90°, то ∠ACB < ∠ADB < 90°, то есть Ra < Rb.
Обратно, из неравенства Rb < Rc следует, что угол CAB лежит между углами CDB и 180° – ∠CDB. Тогда, если угол CDB острый, то ∠ABD < ∠ACD, а так как Ra < Rd, то ∠ABD > 180° – ∠ACD. Но тогда, повторяя приведённое выше рассуждение, получаем, что Rb < Ra < Rd < Rc.
