ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115898
Темы:    [ Четырехугольник (неравенства) ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Мусин О.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Обозначим через Ra, Rb, Rc и Rd радиусы описанных окружностей треугольников DAB, ABC, BCD, CDA. Докажите, что неравенство  Ra < Rb < Rc < Rd  выполняется тогда и только тогда, когда  180° – ∠CDB < ∠CAB < ∠CDB.



Решение

  Пусть углы четырёхугольника удовлетворяют указанному неравенству. Тогда  sin∠CAB > sin∠CDB,  и значит,  Rb < Rc.  Поскольку угол CDB тупой, отсюда следует, что точка A лежит вне описанной окружности треугольника CDB, то есть  ∠CAD < ∠CBD.  Так как оба эти угла острые, то  sin∠CAD < sin∠CBD  и, значит,  Rc < Rd.  Кроме того, поскольку  ∠ACB + ∠CBD = ∠CAD + ∠ADB < 90°,  то  ∠ACB < ∠ADB < 90°,  то есть  Ra < Rb.
  Обратно, из неравенства  Rb < Rc  следует, что угол CAB лежит между углами CDB и  180° – ∠CDB.  Тогда, если угол CDB острый, то  ∠ABD < ∠ACD,  а так как  Ra < Rd,  то  ∠ABD > 180° – ∠ACD.  Но тогда, повторяя приведённое выше рассуждение, получаем, что  Rb < Ra < Rd < Rc.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2009
Класс
Класс 9
задача
Номер 9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .