Задача 115916

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Диаметр, основные свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Подобные прямоугольные треугольники ABC и A'B'A с прямыми углами при вершинах B и B' расположены на плоскости так, что точка A' лежит на луче BC за точкой C . Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника A'AC , лежит на прямой A'B' .

Решение

Пусть D — точка, симметричная вершине A относительно прямой A'B' . Тогда

ACA' = 180^o- ACB = 180^o- A'AB'= 180^o- ADA',
значит, четырёхугольник ACA'D — вписанный. Прямая A'B' — серединный перпендикуляр к хорде AD , поэтому центр окружности, проходящей через точки A , A' и D , лежит на прямой A'B' . Осталось заметить, что это описанная окружность четырёхугольника ACA'D , а значит, и треугольника A'AC (через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2588