Задача 115922

Темы:    [ Неравенство треугольника ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Точка M — середина стороны BC выпуклого четырёхугольника ABCD . Известно, что AMD = 120^o . Докажите неравенство AB+BC+CD>AD .

Решение

Пусть B' — точка, симметричная вершине B относительно прямой AM , а C' — точка симметричная вершине C относительно прямой DM . Тогда

B'MC'=180^o- BMB'- CMC'= 180^o-2 AMB-2 DMC =

=180^o-2(180^o- AMD)= 180^o-2(180^o-120^o)=60^o,
а т.к. MB'=MB=MC=MC' , то треугольник B'MC' — равносторонний, поэтому B'C'=MB'=MB=BC . Следовательно,
AB+BC+CD =AB+B'C'+CD > AD.
Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2594