Задача 115926

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Равносторонний треугольник ABC со стороной 3 вписан в окружность. Точка D лежит на окружности, причём хорда AD равна . Найдите хорды BD и CD .

Решение

Пусть точка D лежит на меньшей дуге AB (рис.1). Тогда четырёхугольник ADBC — вписанный, поэтому

ADB = 180^o- ACB = 180^o-60^o= 120^o.
Обозначим BD=x . По теореме косинусов
AB2=AD2+BD2-2AD· BD cos 120^o,
или 9=3+x2+x , откуда находим, что BD = x==AD , а т.к. CA=CB — то прямая CD — серединный перпендикуляр к хорде AB , значит, CD — диаметр окружности. Следовательно, CD=2 .
Если же точка D лежит на меньшей дуге AC (рис.2), то аналогично найдём, что BD = 2 и CD= .
Также доступны документы в формате TeX

Ответ

, 2 или 2 , .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3392