Задача 115929

Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Теорема синусов ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Найдите радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 13, 14, 15.

Решение

Пусть стороны AB , AC и BC треугольника ABC равны 13, 14 и 15 соответственно (рис.1), R и r — радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей, r_a , r_b и r_c — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон BC , AC и AB — соответственно, S — площадь треугольника ABC , p — полупериметр.
По теореме косинусов

cos BAC = = =.
Тогда
sin BAC = = ,

S=AB· AC sin BAC = · 13· 14· =84.
Следовательно,
r===4.

По теореме синусов
R=== .

Пусть O — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC в точке M и продолжения сторон AC и AB — в точках K и L соответственно (рис.2). Тогда
AK=AL, CK=CM, BL=BM, 2p=AC+BC+AB=AC+(CM+BM)+AL=

=(AC+CM)+(AB+BM)=(AC+CK)+(AB+BL)=AK+AB,
значит, AK=AL=p , поэтому
S=S_{Δ AOK}+S_{Δ AOL}-S_KCBLO= S_{Δ AOK}+S_{Δ AOL}-2S_BOC=

=AK· OK+AL· OL- 2· BC· OM = pr_a+pr_a-BC· r_a= (p-BC)r_a.
Следовательно,
r_a====14.
Аналогично найдём, что
r_b====12, r_c====.

Ответ

, 4 , 14, 12, .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3395