Задача 115936

Темы:    [ Инверсия ] [ Построения ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте образ данной точки при инверсии относительно данной окружности.

Решение

Рассмотрим инверсию относительно окружности с центром O радиуса R . Пусть M — произвольная точка плоскости.
Если точка M лежит на окружности инверсии, то её образом будет сама точка M .
Если точка M лежит вне окружности инверсии (рис.1), проведём через неё касательные к окружности инверсии. Пусть A и B — точки касания. Тогда точка пересечения M' отрезка OM с хордой AB и есть искомая точка.
Действительно, поскольку OA AM и AM' OM , отрезок AM' — высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, значит, OM'· OM = OA2=R2 . Следовательно, OM'= , а это и означает, что M' — образ точки M при симметрии относительно окружности с центром O радиуса R .
Если же точка M лежит внутри окружности инверсии и отлична от O (рис.2), то проведём хорду AB , перпендикулярную OM , и через точку A касательную к окружности инверсии. Пересечение этой касательной с прямой OM и есть искомая точка. Доказательство аналогично доказательству для предыдущего случая.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6113