Условие
Докажите, что при инверсии сохраняется угол
между окружностями (между окружностью и прямой,
между прямыми).
Решение
Пусть прямые l1 и l2 пересекаются в точке
O . При инверсии относительно окружности с центром
O каждая из этих прямых переходит в себя, значит,
угол между ними сохраняется.
Если прямые пересекаются в точке M , отличной от
центра O инверсии, а центр инверсии лежит на одной
из прямых (например, на l1 ), то прямая l1
переходит в себя, а прямая l2 — в окружность
l2' , проходящую через центр инверсии.
Пусть m — касательная к этой окружности в точке O .
Если ещё раз применить ту же инверсию, то окружность l2'
перейдёт в прямую l2 , а прямая m — в себя, т.к.
она проходит через центр инверсии. В то же время, O —
точка касания прямой m и окружности l2' , значит, при
инверсии с центром O они перейдут в пару параллельных прямых,
поэтому m || l2 . Следовательно, угол между
прямой l1' (совпадающей с l1 ) и касательной m к
окружности l2' равен углу между прямыми l1 и l2 .
Пусть центр инверсии не лежит ни на одной из прямых l1 и
l2 . Тогда образы этих прямых — окружности l1' и
l2' , проходящие через центр инверсии.
Пусть m1 и m2
— касательные к этим окружностям в точке O . Если ещё раз
применить ту же инверсию, то окружность l1' и касательная
к ней m1 перейдут в пару параллельных прямых l1 и m1 ,
а окружность l2' и касательная к ней m2 — в пару
параллельных прямых l2 и m2 . Следовательно, угол
между окружностями l1' и l2' равен углу между прямыми
l1 и l2 .
Аналогично доказывается, что при инверсии сохраняется угол
между окружностью и прямой.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
6115 |
