Задача 115938
|
|
 |
Условие
Докажите, что при инверсии сохраняется угол между окружностями (между окружностью и прямой, между прямыми).Решение
Пусть прямые l1 и l2 пересекаются в точке O . При инверсии относительно окружности с центром O каждая из этих прямых переходит в себя, значит, угол между ними сохраняется.Если прямые пересекаются в точке M , отличной от центра O инверсии, а центр инверсии лежит на одной из прямых (например, на l1 ), то прямая l1 переходит в себя, а прямая l2 — в окружность l2' , проходящую через центр инверсии.
Пусть m — касательная к этой окружности в точке O . Если ещё раз применить ту же инверсию, то окружность l2' перейдёт в прямую l2 , а прямая m — в себя, т.к. она проходит через центр инверсии. В то же время, O — точка касания прямой m и окружности l2' , значит, при инверсии с центром O они перейдут в пару параллельных прямых, поэтому m || l2 . Следовательно, угол между прямой l1' (совпадающей с l1 ) и касательной m к окружности l2' равен углу между прямыми l1 и l2 .
Пусть центр инверсии не лежит ни на одной из прямых l1 и l2 . Тогда образы этих прямых — окружности l1' и l2' , проходящие через центр инверсии.
Пусть m1 и m2 — касательные к этим окружностям в точке O . Если ещё раз применить ту же инверсию, то окружность l1' и касательная к ней m1 перейдут в пару параллельных прямых l1 и m1 , а окружность l2' и касательная к ней m2 — в пару параллельных прямых l2 и m2 . Следовательно, угол между окружностями l1' и l2' равен углу между прямыми l1 и l2 . Аналогично доказывается, что при инверсии сохраняется угол между окружностью и прямой.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 6115 |
