Задача 115939

Темы:    [ Свойства инверсии ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что две непересекающиеся окружности S1 и S2 (или окружность и прямую) можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.

Решение

Пусть O1 и O2 — центры непересекающихся окружностей S1 и S2 соответственно. Построим на прямой O1O2 точку C , для которой касательные, проведённые из неё к окружностям S1 и S2 , равны. Эту точку можно построить, проведя радикальную ось этих окружностей.
Пусть l — длина этих касательных, а O и Q — точки пересечения окружности с центром C радиуса l с прямой O1O2 . Ясно, что эта окружность перпендикулярна окружностям S1 и S2 .
Рассмотрим инверсию относительно произвольной окружности с центром O . При этой инверсии прямая O1O2 , проходящая через центр инверсии, переходит в себя, а окружность с диаметром OQ , проходящая через центр O инверсии, — в прямую a , не проходящую через центр инверсии. Прямые O1O2 и a имеют единственную общую точку Q' — образ точки Q при рассматриваемой инверсии.
Поскольку при инверсии сохраняются углы между окружностями, прямая a перпендикулярна образам S1' и S2' окружностей S1 и S2 , поэтому она проходит через центры окружностей S1' и S2' , лежащие на прямой O1O2 , а т.к. прямые O1O2 и a имеют ровно одну общую точку Q' , то центры окружностей S1' и S2' совпадают с этой точкой. Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6116