Условие
Докажите, что две непересекающиеся окружности S1
и S2 (или окружность и прямую) можно при помощи
инверсии перевести в пару концентрических окружностей.
Решение
Пусть O1 и O2 — центры непересекающихся
окружностей S1 и S2 соответственно. Построим на
прямой O1O2 точку C , для которой касательные,
проведённые из неё к окружностям S1 и S2 ,
равны. Эту точку можно построить, проведя радикальную
ось этих окружностей.
Пусть l — длина этих касательных, а
O и Q — точки пересечения окружности с центром C
радиуса l с прямой O1O2 . Ясно, что эта окружность
перпендикулярна окружностям S1 и S2 .
Рассмотрим инверсию относительно
произвольной окружности с центром O . При этой инверсии прямая
O1O2 , проходящая через центр инверсии, переходит в себя,
а окружность с диаметром OQ , проходящая через центр O
инверсии, — в прямую a , не проходящую через центр инверсии.
Прямые O1O2 и a имеют единственную общую точку Q' —
образ точки Q при рассматриваемой инверсии.
Поскольку при инверсии сохраняются углы между окружностями,
прямая a перпендикулярна образам S1' и S2'
окружностей S1 и S2 , поэтому она проходит через
центры окружностей S1' и S2' , лежащие на прямой
O1O2 , а т.к. прямые O1O2 и a имеют ровно одну
общую точку Q' , то центры окружностей S1' и S2'
совпадают с этой точкой. Что и требовалось доказать.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
6116 |
