|
|
 |
Условие
Дан трёхгранный угол с вершиной O и точка A
на его ребре. По двум другим его рёбрам скользят
точки B и C . Найдите геометрическое место
точек пересечения медиан треугольников ABC .
Решение
Пусть B и C — произвольные точки на рёбрах
данного трёхгранного угла OABC , K — середина
отрезка BC , M — точка пересечения медиан
треугольника ABC . Тогда =
.
При гомотетии с центром A и коэффициентом
точка K перейдёт в точку M , плоскость OBC —
в плоскость α , проходящую через точку M параллельно
грани OBC , а грань OBC — в пересечение плоскости α
с данным трёхгранным углом. Следовательно, каждая такая точка
M принадлежит этому пересечению.
Пусть теперь M — произвольная точка построенного пересечения.
При гомотетии с центром A и коэффициентом это
пересечение перейдёт в грань, противоположную ребру OA , а точка M
— в некоторую точку K , лежащую в этой грани. Известно, что для
любой точки K , лежащей внутри угла, найдётся отрезок BC с концами
на сторонах угла, для которого точка K будет серединой. При этом
=
. Следовательно, M — точка пересечения
медиан треугольника ABC . Что и требовалось доказать.
Ответ
Рассмотрим плоскость, параллельную грани OBC и отстоящую от неё на треть расстояния между точкой A и гранью OBC . Искомое ГМТ — часть этой плоскости, лежащая внутри данного трёхгранного угла.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 7314 |
