|
|
 |
Условие
Как расположить в пространстве спичечный коробок,
чтобы его проекция на плоскость имела наибольшую
площадь?
Решение
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 .
Его проекция на любую плоскость — выпуклый шестиугольник
BCDD1A1B1 (возможно, вырождающийся в четырёхугольник),
состоящий из трёх параллелограммов ABCD , ADD1A1 и
ABB1A1 . Отрезки BD , DA1 и A1B разбивают
каждый из этих параллелогрммов на два равных треугольника,
поэтому SBCDD1A1B1=2SΔ BDA1 .
Треугольник BDA1 — ортогональная проекция треугольника,
стороны которого — диагонали граней параллелепипеда,
а т.к. площадь ортогональной проекции треугольника равна
площади проектируемого треугольника, умноженной на косинус угла
между плоскостью треугольника и плоскостью проекций, то
площадь проекции не больше площади самого треугольника, причём
равенство достигается в случае, когда косинус угла равен 1, т.е.
когда плоскость проекция параллельна плоскости треугольника.
Следовательно, в нашем случае проекция имеет наибольшую площадь,
если плоскость проекция параллельна плоскости треугольника
BDA1 . Тогда эта наибольшая площадь равна удвоенной площади
треугольника BDA1 .
Ответ
Коробок-параллелепипед должен располагаться так, чтобы плоскость, проходящая через вторые концы трёх его рёбер, исходящих из одной вершины, была горизонтальна.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 7315 |
