Условие
В тетраэдре одна из высот пересекает две
другие. Докажите, что все высоты пересекаются
в одной точке.
Решение
Докажем сначала следующее утверждение. Если противоположные
рёбра тетраэдра попарно перпендикулярны, то все высоты
тетраэдра (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Действительно, пусть в тетраэдре ABCD известно, что
AB 
CD , AC BD и BC AD , а DD1 —
высота тетраэдра (рис.1). Тогда прямая CD1 — ортогональная
проекция наклонной CD к плоскости основания ABC , а т.к.
CD AB , то по теореме о трёх перпендикулярах CD1
AB . Аналогично, AD1 BC , значит, D1 —
точка пересечения высот треугольника ABC .
Аналогично докажем, что остальные высоты тетраэдра также
проходят через точки пересечения высот граней тетраэдра.
Пусть AA1 — высота тетраэдра, а плоскость, проведённая
через пересекающиеся прямые AD и DD1 , пересекает прямую BC
в точке M . Тогда AM — высота треугольника ABC ,
а DM — высота треугольника BDC (теорема о трёх перпендикулярах),
значит, прямая DM проходит через точку пересечения высот
треугольника BDC , т.е. через точку A1 . Поэтому прямые
AA1 и DD1 лежат в одной плоскости, и значит,
пересекаются.
Аналогично докажем, что две любые высоты тетраэдра
ABCD пересекаются. При этом все четыре высоты не лежат в
одной плоскости, иначе в одной плоскости лежали бы точки
A , B , C и D . Следовательно, прямые AA1 , BB1 ,
CC1 и DD1 пересекаются в одной точке.
Перейдём к нашей задаче (рис.2).
Пусть высота DD1 тетраэдра ABCD
пересекается с высотами AA1 и BB1 , а
плоскость, проведённая через пересекающиеся
прямые DD1 и AA1 , пересекает прямую BC в
точке M . Тогда по теореме о трёх перпендикулярах
AM BC , т.е. AM — высота треугольника ABC .
Аналогично докажем, что если плоскость, проведённая через
пересекающиеся прямые DD1 и BB1 , пересекает
прямую AC в точке N , то BN — также высота
треугольника ABC , а т.к. прямые AM и BN пересекаются
в точке D1 , то D1 — точка пересечения высот
треугольника ABC . Тогда по теореме о трёх перпендикулярах
противоположные рёбра тетраэдра попарно перпендикулярны.
Из доказанного ранее утверждения следует, что все высоты
тетраэдра пересекаются в одной точке.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
7317 |
