Задача 115948

Темы:    [ Концентрические окружности ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Окружность Аполлония ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Протасов В.Ю.

Две окружности с радиусами 1 и 2 имеют общий центр в точке O. Вершина A правильного треугольника ABC лежит на большей окружности, а середина стороны BC – на меньшей. Чему может быть равен угол BOC?

Решение 1

Автор: Осечкина М.

  Рассмотрим случай, когда точки O и A лежат в одной полуплоскости относительно прямой BC (рис. слева).
  Пусть K – середина BC, G – точка пересечения медиан треугольника ABC. Продолжим отрезок OK до пересечения с большей окружностью в точке O₁. Тогда K – середина также отрезка OO₁, поэтому BOCO₁ – параллелограмм. G – точка пересечения медиан также треугольника AOO₁, поскольку AK – медиана этого треугольника, и  AG : GK = 2 : 1.  А так как этот треугольник равнобедренный, то медиана OG является также биссектрисой, откуда следует равенство треугольников AGO и O₁GO. Следовательно,  GO₁ = GA = GB = GC,  то есть точки A, B, C, O₁ лежат на окружности с центром G. Поэтому  ∠BO₁C = 180° – ∠A = 60°.
  Аналогично рассматривая второй случай, получим  ∠BO₁C = 120°.

Решение 2

Автор: Лысов М.

  используем те же обозначения.
  Из условия следует, что  AG : KG = AB : KB = AC : KC = AO : KO = 2 : 1.  Значит, точки B, G, O, C лежат на окружности Аполлония для отрезка АК (рис. справа). Понятно также, что ∠BGC = ∠BOC  или  180° – ∠BOC.

Ответ

60° или 120°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2005
тур
задача
Номер	7