ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115948
Темы:    [ Концентрические окружности ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Окружность Аполлония ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности с радиусами 1 и 2 имеют общий центр в точке O. Вершина A правильного треугольника ABC лежит на большей окружности, а середина стороны BC – на меньшей. Чему может быть равен угол BOC?


Решение 1

  Рассмотрим случай, когда точки O и A лежат в одной полуплоскости относительно прямой BC (рис. слева).
  Пусть K – середина BC, G – точка пересечения медиан треугольника ABC. Продолжим отрезок OK до пересечения с большей окружностью в точке O1. Тогда K – середина также отрезка OO1, поэтому BOCO1 – параллелограмм. G – точка пересечения медиан также треугольника AOO1, поскольку AK – медиана этого треугольника, и  AG : GK = 2 : 1.  А так как этот треугольник равнобедренный, то медиана OG является также биссектрисой, откуда следует равенство треугольников AGO и O1GO. Следовательно,  GO1 = GA = GB = GC,  то есть точки A, B, C, O1 лежат на окружности с центром G. Поэтому  ∠BO1C = 180° – ∠A = 60°.
  Аналогично рассматривая второй случай, получим  ∠BO1C = 120°.


Решение 2

Автор: Лысов М.

  используем те же обозначения.
  Из условия следует, что  AG : KG = AB : KB = AC : KC = AO : KO = 2 : 1.  Значит, точки B, G, O, C лежат на окружности Аполлония для отрезка АК (рис. справа). Понятно также, что ∠BGC = ∠BOC  или  180° – ∠BOC.


Ответ

60° или 120°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2005
тур
задача
Номер 7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .