Задача 115970

Темы:    [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Признаки делимости на 5 и 10 ]

Сложность: 2 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Фольклор

Найдите наименьшее число, кратное 45, десятичная запись которого состоит только из единиц и нулей.

Решение

Число кратно 45, если оно кратно каждому из двух взаимно простых чисел: 9 и 5. Так как искомое число делится на 9, то его сумма цифр должна делиться на 9. Следовательно, количество единиц в искомом числе кратно девяти. Число, кратное пяти, может оканчиваться на 0 или на 5, но второй случай невозможен по условию. Таким образом, искомое число должно содержать 9 единиц и оканчиваться нулем.

Ответ

1111111110.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2010/11
Класс
Класс	10
задача
Номер	10.1.3