|
|
 |
Условие
Пусть I – центр вписанной окружности прямоугольного треугольника ABC, касающейся катетов AC и BC в точках B0 и A0 соответственно. Перпендикуляр, опущенный из A0 на прямую AI, и перпендикуляр, опущенный из B0 на прямую BI, пересекаются в точке P. Докажите, что прямые CP и AB перпендикулярны.
Решение 1
Пусть ∠IAC = α, ∠IBC = β. Очевидно, α + β = 45° и IA0CB0 – квадрат. ∠PA0C = ∠IAC = α как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Аналогично ∠PB0C = β. Из треугольника A0B0P находим, что ∠A0PB0 = 180° – (α + 45°) – (β + 45°) = 45°. Рассмотрим окружность Ω с центром C и радиусом CA0.
Вписанные углы, опирающиеся на дугу A0B0 этой окружности равны 45°, следовательно, точка P лежит на Ω. Поэтому
∠PCB0 = 2∠PA0B0 = 2α + 90°, а смежный угол составляет 90° – 2α = 90° – ∠CAB. Это и значит, что CP ⊥ AB.
Решение 2
Рассмотрим центральную симметрию относительно центра квадрата IA0CB0. Треугольник перейдёт в равный треугольник A1IB1. Вписанная в него окружность имеет центр C и касается его сторон в точках A0, B0 и D, симметричной точке касания вписанной в треугольник ABC окружности с гипотенузой AB. Четырёхугольник A1A0CD, очевидно, дельтоид, поэтому его диагонали A0D и A1C перпендикулярны.
Но A1C || AI, следовательно, A0D – перпендикуляр, опущенный из A0 на прямую AI. Аналогично B0D – перпендикуляр, опущенный из B0 на прямую BI, то есть точка D совпадает с точкой P. Но DC || IC0, а IC0 ⊥ AB, что и требовалось.
Замечания
8 баллов.
