Задача 116016

Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Фольклор

Существует ли прямоугольный треугольник, в котором две медианы перпендикулярны?

Решение

  Пусть в треугольнике ABC  ∠С = 90°,  BС = 2a,  AC = 2b,  CP и BK – медианы, M – их точка пересечения.

  Первый способ. Как известно,  AP = CP.  Отрезки CM и BM перпендикулярны тогда и только тогда, когда  ∠PAC = ∠PCA = ∠KBC  (углы с взаимно перпендикулярными сторонами), то есть когда треугольники CKP и BCK подобны, что сводится к равенству  a : b = b : 2a  ⇔  b² = 2a².
  Таким образом, в прямоугольном треугольнике, катеты которого удовлетворяют соотношению     медианы CP и BK перпендикулярны.

  Второй способ. Рассмотрим параллелограмм CPKL (рис. справа).  BK ⊥ CP  тогда и только тогда, когда треугольник LKB – прямоугольный, то есть
LB² = LK² + BK²  или  9a² = (a² + b²) + (4a² + b²).  Отсюда снова получаем соотношение  

Ответ

Существует.

Замечания

1. Отметим, что медианы BK и AQ не могут быть перпендикулярны. Действительно, в четырёхугольнике CKMQ углы MKC и MQC – острые, а угол KCQ – прямой, значит, угол KMQ – тупой.

2. Можно использовать известный факт:
  в произвольном треугольнике ABC медианы CP и BK перпендикулярны тогда и только тогда, когда  AB² + AC² = 5BC²
(см. задачу 57596).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2010/11
Класс
	1
Класс	9
задача
Номер	9.3.2