ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116016
Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Существует ли прямоугольный треугольник, в котором две медианы перпендикулярны?


Решение

  Пусть в треугольнике ABC  ∠С = 90°,  = 2aAC = 2bCP и BK – медианы, M – их точка пересечения.

  Первый способ. Как известно,  AP = CP.  Отрезки CM и BM перпендикулярны тогда и только тогда, когда  ∠PAC = ∠PCA = ∠KBC  (углы с взаимно перпендикулярными сторонами), то есть когда треугольники CKP и BCK подобны, что сводится к равенству  a : b = b : 2a  ⇔  b² = 2a².
  Таким образом, в прямоугольном треугольнике, катеты которого удовлетворяют соотношению     медианы CP и BK перпендикулярны.

  Второй способ. Рассмотрим параллелограмм CPKL (рис. справа).  BKCP  тогда и только тогда, когда треугольник LKB – прямоугольный, то есть
LB² = LK² + BK²  или  9a² = (a² + b²) + (4a² + b²).  Отсюда снова получаем соотношение  


Ответ

Существует.

Замечания

1. Отметим, что медианы BK и AQ не могут быть перпендикулярны. Действительно, в четырёхугольнике CKMQ углы MKC и MQC – острые, а угол KCQ – прямой, значит, угол KMQ – тупой.

2. Можно использовать известный факт:
  в произвольном треугольнике ABC медианы CP и BK перпендикулярны тогда и только тогда, когда  AB² + AC² = 5BC²
(см. задачу 57596).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2010/11
Класс
1
Класс 9
задача
Номер 9.3.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .