Задача 57596

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что медианы AA₁ и BB₁ треугольника ABC перпендикулярны тогда и только тогда, когда  a² + b² = 5c².

Решение

Пусть M — точка пересечения медиан AA₁ и BB₁. Угол AMB прямой тогда и только тогда, когда AM² + BM² = AB², т. е. 4(m_a² + m_b²)/9 = c². Согласно задаче 12.11 m_a² + m_b² = (4c² + a² + b²)/4.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	2
Название	Теорема косинусов
Тема	Теорема синусов
задача
Номер	12.015