Задача 57592

Темы:    [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что:
а)  m_a² = (2b² + 2c² - a²)/4;
б)  m_a² + m_b² + m_c² = 3(a² + b² + c²)/4.

Решение

а) Пусть A₁ — середина отрезка BC. Складывая равенства AB² = AA₁² + A₁B² - 2AA₁ ^. BA₁cos BA₁A и AC² = AA₁² + A₁C² - 2AA₁ ^. A₁C cos CA₁A и учитывая, что cos BA₁A = - cos CA₁A, получаем требуемое.
б) Очевидным образом следует из задачи а).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	2
Название	Теорема косинусов
Тема	Теорема синусов
задача
Номер	12.011