Задача 116023

Темы:    [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 2 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Фольклор

Существует ли натуральное число, которое при делении на сумму своих цифр как в частном, так и в остатке дает число 2011?

Решение

Предположим, что существует натуральное число n с суммой цифр s, для которого  n = 2011s + 2011,  откуда  n – s = 2010s + 2011.  Как известно,  n – s  делится на 3. Но число  2010s + 2011  на 3 не делится, так как 2010s кратно 3, а 2011 – нет. Противоречие.

Ответ

Не существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2010/11
Класс
	1
Класс	9
задача
Номер	9.5.3