|
|
 |
Условие
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны и
пересекаются в точке O. Известно, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники AOB и COD, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники BOC и DOA. Докажите, что
а) четырёхугольник ABCD – описанный;
б) четырёхугольник ABCD симметричен относительно одной из своих диагоналей.
Решение
Пусть AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, AO = u, BO = x, CO = v, DO = y.
а) По известной формуле для радиуса вписанной окружности
прямоугольного треугольника
(u + x – a) + (y + v – c) = (x + v – b) + (u + y – d) ⇔ a + c = b + d. Следовательно, четырёхугольник ABCD описанный.
б) Первый способ. Из теоремы Пифагора легко следует, что a² + c² = b² + d². Отсюда 2ac = (a + c)² – (a² + c²) = (b + d)² – (b² + d²) = 2bd. Из равенств
a + c = b + d, ac = bd следует, что пары {a, c} и {b, d}
совпадают. А это и означает симметрию относительно одной из диагоналей.
Второй способ. Предположим, что четырёхугольник несимметричен, например, OA < OC, OB < OD. Рассмотрим точку A', симметричную точке A относительно диагонали BD, и точку B', симметричную B относительно AC. A'B' + CD = AB + CD = BC + AD = B'C + A'D. Но отрезки B'C и A'D пересекаются, и из неравенства треугольника следует, что A'B' + CD < B'C + A'D. Противоречие.
Замечания
баллы: 2 + 3
