|
|
 |
Условие
Клетчатый прямоугольник разбит на двухклеточные доминошки. В каждой доминошке провели одну из двух диагоналей. Оказалось, что никакие диагонали не имеют общих концов. Докажите, что ровно два из четырёх углов прямоугольника являются концами диагоналей.
Решение 1
Достаточно доказать, что в каждых двух доминошках, граничащих по отрезку, проведённые диагонали выходят либо обе из правых нижних, либо обе из левых нижних углов.
Предположим противное и найдём плохую пару: две соприкасающиеся доминошки с диагоналями разных направлений. Ясно, что общий отрезок не может быть целой стороной обеих доминошек. Принципиально возможны лишь два случая – см. верхний рисунок. В обоих случаях однозначно определяются центр
(конец диагонали на середине стороны) и направление пары (направление от центра к концу другой диагонали на той же стороне) – на рисунке это жирная точка и стрелка. Рассмотрим плохую пару, чей центр ближе всего к стороне, на которую показывает направление пары. Заметим, что положение доминошки, примыкающей к плохой паре в её центре, и диагональ в этой доминошке тоже определены однозначно (см. нижний рисунок). Но тогда возникает новая плохая пара, чей центр ближе к указанной стороне. Противоречие доказывает, что плохих пар нет.
Решение 2
1) Пусть левый нижний угол не является концом диагонали доминошки. Рассмотрим следующую доминошку, примыкающую к нижней стороне. Легко видеть, что диагональ в ней имеет то же "направление", что и в угловой. Это верно и для следующей справа доминошки и т.д. Следовательно, из правого нижнего угла
выходит диагональ.
Итак, доказано, что хотя бы из одного угла диагональ доминошки выходит.
2) Пусть из левого нижнего угла A выходит диагональ AB первой доминошки. К первой доминошке обязательно примыкает (по стороне или половине стороны) вторая доминошка, для которой B также служит вершиной. Поэтому диагональ второй доминошки имеет то же направление,
что и AB. Заметим также, что сумма "координат" правой верхней вершины
(C) у второй доминошки больше, чем у первой. Ко второй доминошке примыкает третья, для которой C является вершиной, и рассуждения можно повторить. В результате будет построена цепь из доминошек с
диагоналями одного направления, соединяющая левый нижний и правый верхний углы прямоугольника. Следовательно, в правый верхний угол также входит диагональ доминошки.
3) Пусть из правого нижнего угла также выходит диагональ. Тогда можно построить цепь доминошек, соединяющую правый нижний и левый верхний углы прямоугольника. Эта цепь должна "пересечься" с ранее построенной цепью, то есть имеет с ней общую доминошку. Противоречие, так как диагонали доминошек
второй цепи "направлены" не так, как в первой.
Замечания
8 баллов
