Задача 116049

Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Многоугольники (неравенства) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Гальперин Г.А.

Имеется многоугольник. Для каждой стороны поделим её длину на сумму длин всех остальных сторон. Затем сложим все получившиеся дроби. Докажите, что полученная сумма меньше 2.

Решение

По неравенству треугольника каждая сторона меньше суммы остальных, поэтому сумма остальных больше полупериметра. Значит, заменив каждый знаменатель на полупериметр, мы увеличим сумму. Но теперь она равна 2.

Замечания

1. В 8-9 классах задача предлагалась для пятиугольника.
2. См. также задачу М2208 из Задачника "Кванта" ("Квант", 2011, №1).
3. Баллы: 8-9 кл. – 8, 10-11 кл. – 6.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2010/2011
Номер	32
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	3
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2010/2011
Номер	32
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	5