Задача 116068
|
|
 |
Условие
Две окружности w1 и w2 пересекаются в точках A и B. К ним через точку A проводятся касательные l1 и l2 (соответственно). Перпендикуляры, опущенные из точки B на l2 и l1, вторично пересекают окружности w1 и w2 соответственно в точках K и N. Докажите, что точки K, A и N лежат на одной прямой.
Решение
Пусть M и L – основания перпендикуляров, опущенных из точки B (см. рис.). Тогда, воспользовавшись свойством угла между касательной и хордой, получим, что ∠MAB = ∠ANB, а ∠LAB = ∠AKB. Учитывая, что ∠MAK = 90° – ∠AKB, а ∠NAL = 90° – ∠ANB, получим, что ∠KAN = ∠KAM + ∠BAM + ∠BAL + ∠NAL = 180°, то есть точки K, A и N лежат на одной прямой.
Cлучай, когда точки K и N лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB, рассматривается аналогично.
