Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
Миша написал на доске в некотором порядке 2004 плюса и 2005 минусов. Время от времени Юра подходит к доске, стирает любые два знака и пишет вместо них один, причём если он стёр одинаковые знаки, то вместо них он пишет плюс, а если разные, то минус. После нескольких таких действий на доске остался только один знак. Какой?
Две окружности w1 и w2 пересекаются в точках A и B. К ним через точку A проводятся касательные l1 и l2 (соответственно). Перпендикуляры, опущенные из точки B на l2 и l1, вторично пересекают окружности w1 и w2 соответственно в точках K и N. Докажите, что точки K, A и N лежат на одной прямой.
Пешеход обошёл шесть улиц одного города, пройдя каждую ровно два раза, но не смог обойти их, пройдя каждую лишь раз. Могло ли это быть?
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Перпендикуляр, опущенный из вершины C на биссектрису угла ABD, пересекает прямую AB в точке C1; перпендикуляр, опущенный из вершины B на биссектрису угла ACD, пересекает прямую CD в точке B1. Докажите, что B1C1 || AD.
|
|
 |
Условие
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Перпендикуляр, опущенный из вершины C на биссектрису угла ABD, пересекает прямую AB в точке C1; перпендикуляр, опущенный из вершины B на биссектрису угла ACD, пересекает прямую CD в точке B1. Докажите, что B1C1 || AD.
Решение
Пусть точки C1 и B1 лежат на сторонах AB и CD соответственно (см. рис.). Так как ∠BC1C = 90° – ½ ∠ABD = 90° – ½ ∠ACD = ∠BB1C,
то точки B, C, B1 и C1 лежат на одной окружности. Значит, ∠B1C1A = ∠BCB1, следовательно, ∠B1C1A + ∠BAD = 180°, то есть AD || B1C1.
Aналогично рассматривается случай, когда обе точки лежат на продолжении соответствующих сторон.
B случае, когда одна из точек B1 и C1 лежит на стороне, а другая на продолжении, ∠BC1C + ∠BB1C = 180°, что также означает принадлежность этих точек одной окружности.
