Условие
С помощью циркуля и линейки постройте образ данной окружности
при инверсии относительно другой данной окружности.
Решение
Пусть даны окружность l и окружность S с центром O .
Требуется построить образ окружности l при инверсии
относительно окружности S .
Известно, что окружность, проходящая через центр инверсии,
переходит в прямую, не проходящую через центр инверсии, а
окружность, не проходящая через центр инверсии, — в окружность.
Пусть окружность l расположена внутри окружности S (рис.1), проходит
через точку O и пересекает линию центров окружностей в точке
C , отличной от O . Через точку C проведём прямую, перпендикулярную
линии центров. Через точку пересечения A этой прямой с окружностью
S проведём касательную к окружности S . Пусть P — точка
пересечения этой касательной с линией центров окружностей l и S .
Тогда прямая, проходящая через точку P перпендикулярно линии центров, —
искомый образ окружности l при рассматриваемой инверсии.
Если окружность l проходит через точку O и пересекает окружность
S в различных точках A и B (рис.2), то при инверсии относительно
окружности S эти точки остаются на месте, значит, искомый образ
окружности l , — прямая AB .
Если окружность l проходит через точку O и касается окружности
S в точке A , то при инверсии относительно окружности
S окружность l переходит в общую касательную к окружностям
l и S , проходящую через точку A .
Пусть теперь окружность l не проходит через точку O (рис.3). Если
линия центров окружностей l и S пересекается с окружностью
l в различных точках A и B , то AB — диаметр окружности
l . Тогда искомый образ окружности l при рассматриваемой инверсии
— это окружность с диаметром A'B' , где A' и B' — образы
точек A и B при этой инверсии.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
6119 |
