Задача 116092

Темы:    [ Свойства инверсии ] [ Построение окружностей ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте образ данной окружности при инверсии относительно другой данной окружности.

Решение

Пусть даны окружность l и окружность S с центром O . Требуется построить образ окружности l при инверсии относительно окружности S .
Известно, что окружность, проходящая через центр инверсии, переходит в прямую, не проходящую через центр инверсии, а окружность, не проходящая через центр инверсии, — в окружность.
Пусть окружность l расположена внутри окружности S (рис.1), проходит через точку O и пересекает линию центров окружностей в точке C , отличной от O . Через точку C проведём прямую, перпендикулярную линии центров. Через точку пересечения A этой прямой с окружностью S проведём касательную к окружности S . Пусть P — точка пересечения этой касательной с линией центров окружностей l и S . Тогда прямая, проходящая через точку P перпендикулярно линии центров, — искомый образ окружности l при рассматриваемой инверсии.
Если окружность l проходит через точку O и пересекает окружность S в различных точках A и B (рис.2), то при инверсии относительно окружности S эти точки остаются на месте, значит, искомый образ окружности l , — прямая AB .
Если окружность l проходит через точку O и касается окружности S в точке A , то при инверсии относительно окружности S окружность l переходит в общую касательную к окружностям l и S , проходящую через точку A .
Пусть теперь окружность l не проходит через точку O (рис.3). Если линия центров окружностей l и S пересекается с окружностью l в различных точках A и B , то AB — диаметр окружности l . Тогда искомый образ окружности l при рассматриваемой инверсии — это окружность с диаметром A'B' , где A' и B' — образы точек A и B при этой инверсии.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6119