Задача 116095

Темы:    [ Радикальная ось ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов.
Докажите, что середины отрезков четырёх общих касательных этих окружностей лежат на одной прямой.

Решение

  Поскольку расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов, окружности расположены одна вне другой, поэтому у них есть две внешние и две внутренние общие касательные.
  Пусть прямая касается данных окружностей в точках A и B, а M – середина отрезка AB. Тогда  MA = MB,  то есть отрезки касательных, проведённых к окружностям из точки M, равны. Значит, точка M лежит на радикальной оси данных окружностей.
  То же верно для середин отрезков остальных трёх касательных.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6122