Задача 116096

Темы:    [ Построение окружностей ] [ Свойства инверсии ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Общая касательная к двум окружностям ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся двух данных окружностей и проходящую через данную точку, лежащую вне этих окружностей.

Решение

Предположим, искомая окружность S построена, т.е. окружность S касается данных окружностей S1 и S2 и проходит через данную точку O , лежащую вне окружностей S1 и S2 .
При инверсии относительно окружности произвольного радиуса с центром O окружность S , проходящая через центр инверсии, перейдёт в прямую S' , касающуюся окружностей S1' и S2' — образов окружностей S1 и S2 , не проходящих через центр инверсии. Отсюда вытекает следующий способ построения.
Строим окружности S1' и S2' — образы окружностей S1 и S2 при инверсии относительно произвольной окружности с центром O . Затем проводим общие касательные к построенным окружностям и ещё раз применяем ту же инверсию. Тогда каждая из построенных общих касательных переходит в окружность, проходящую через центр инверсии O и касающуюся окружностей S1 и S2 .
Задача имеет четыре решения (по числу общих касательных, которые можно провести к двум окружностям, если одна из них расположена вне другой).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6123