Задача 116099

Темы:    [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Теорема синусов ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На окружности, описанной около прямоугольника ABCD , выбрана точка K . Оказалось, что прямая CK пересекает отрезок AD в точке M такой, что AM:MD=2 . Пусть O — центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника OKD лежит на окружности, описанной около треугольника COD .

Решение

Пусть прямая CK пересекает диагональ BD в точке N , продолжение стороны AB — в точке T , а окружность S , описанную около треугольника COD — в точке P .
Треугольник AMT подобен треугольнику DMC с коэффициентом 2, поэтому AT=2CD=2AB . Тогда BT=3AB и треугольник BNT подобен треугольнику DNC с коэффициентом 3.
Если DN=t , то BO=3t , а т.к. O — середина BD , то OD=2t , поэтому ON=OD-DN=2t-t=t . Значит, N — середина OD , а KN — медиана равнобедренного треугольника OKD .
Пусть луч OP пересекает основание KD треугольника OKD в точке F . Докажем, что OF — также медиана треугольника OKD . Тогда точка P , лежащая на окружности S , будет точкой пересечения медиан треугольника KOD .
Действительно, вписанные в окружность S углы DOP и DCP опираются на одну и ту же дугу, поэтому DOP= DCP . С другой стороны, центральный угол DOK описанной окружности прямоугольника ABCD вдвое больше висанного в эту окружность угла DCK , поэтому DOK = 2 DCK = 2 DOP , и луч OP — биссектриса угла DOK . Следовательно, OF — биссектриса, а значит, и медиана равнобедренного треугольника OKD . Что и требовалось доказать.



Обозначим CAD = α , DCK = β , R и r — радиусы окружностей, описанных около прямоугольника ABCD и треугольника COD соответственно.
Пусть P — отличная от C точка пересечения отрезка CK с описанной окружностью треугольника COD . Тогда DOP = PCD = β , а т.к. центральный угол KOD вдвое больше вписанного угла KCD , то KOD = 2 KCD = 2β , значит, луч OP — биссектриса угла KOD при вершине равнобедренного треугольника OKD . Пусть луч OP пересекает основание этого треугольника в точке F . Тогда OF — медиана треугольника OKD .
Докажем, что P — точка пересечения медиан треугольника OKD . Для этого достаточно доказать, что = .
Из прямоугольного треугольника ACD находим, что CD=AC sin CAD = 2R sin α . С другой стороны, по теореме синусов CD=2r sin COD = 2r sin 2α , значит, 2R sin α=2r sin 2α , откуда

= =.

Из прямоугольных треугольников CDM и ACD находим, что
DM = CD tg DCM = 2R sin α tg β, AD=AC cos CAD = 2R cos α,
а т.к. AD = 3DM , то 2R cos α=3· 2R sin α tg β , откуда tg α· tg β = .
По теореме синусов
OP=2r sin OCP =2r sin (90^o-α - β)= 2r cos (α+β).
Из прямоугольного треугольника ODF находим, что
OF = OD cos DOF = R cos β,
поэтому
== · = · =

==1- tg α tg β = 1-=.
Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6142